Ganske simpelt faktisk:
SELECT *
FROM `table`
WHERE `column` LIKE '%{$needle}%'
%
er et jokertegn for ethvert tegnsæt (ingen, en eller mange). Bemærk, at dette kan blive langsomt på meget store datasæt, så hvis din database vokser, bliver du nødt til at bruge fuldtekstindekser.