Du bør behandle det som et array som dette,
<input name="checkbox[]" type="checkbox" value="<?php echo $row['link_id']; ?>">
Kun derefter kan du tage dens optælling og sløjfe den til sletning.
Du skal også videregive databaseforbindelsen til forespørgslen.
$result = mysqli_query($dbc, $sql);
Din inkluderede det ikke:
$result = mysqli_query($sql);