Du har aldrig tildelt din forbindelsesstreng til forbindelsesobjektet, ligesom fejlen siger.
Indsæt en linjeindstilling af forbindelsesstrengen før con.open.
Con.connectionstring = connection
Con.Open()
Eller endnu bedre, ændre din brugserklæring som følger
Dim Connection As String = "Data Source=.\SQLEXPRESS;AttachDbFilename=G:\VB Project\Library Catalog System\Library Catalog System\library.mdf;Integrated
Security=True;Connect Timeout=30;User Instance=True"
Using Con As New SqlConnection(connection)