Jeg fik det til at virke og lægger svaret her, hvis nogen skulle have brug for hjælp i fremtiden.
Grundlæggende kan vi lave en simpel where forespørgsel med @> operatør. Og værdien kan json-kodes med den søgte e-mail. Følgende er forespørgslen om at søge efter bestemt e-mail uden at bruge whereRaw metode.
$contacts = Contact::where("emails", '@>', '[' . json_encode(['value' => $query]) . ']')->get();
Håber det hjælper en anden i fremtiden :)