Dette er heller ikke det nøjagtige svar, du leder efter, men du kan gå ret tæt på med $in operatør:
db.i.find({
children : { $in : arr}
})
Husk, at dette ikke vil give det ovennævnte resultat (det vil udlæse alle værdierne i arrayet og ikke {_id:"1",children:["1.1"]}, ).
Men du kan, hvad jeg foreslog, og efter dette i din ansøgning iterere gennem alle resultater og kun udskrive skæringspunktet mellem børn og dit array.