Problemet er at kalde $dossier->program
har faktisk ikke adgang til egenskaben direkte i Eloquent type modeller, men kalder snarere en __get
metode.
Den get-metode returnerer ikke en reference til ejendommen. Hvad du skal gøre er at gribe den oprindelige egenskab, ændre den og derefter sætte den tilbage:
$dossier=Dossier::where('_id',(int)$request->input('dossier_id'))->first();
$originalProgram = $dossier->program;
$originalProgram[$request->input('program')]['cities'][$request->input('city')]['services'][$request->input('service')][$request->input('name')]=$request->input('value');
$dossier->program = $originalProgram;
$dossier->save();