Jeg havde det samme, og det viste sig at være et tilladelsesproblem. Hvis ejeren af den underordnede proces ikke kan få adgang til logstien, eller logstien ikke eksisterer, vil den mislykkes.
Det, jeg gjorde, var at sætte log-mappen i min hjemmemappe:
mkdir ~/log
mongod --fork --logpath ~/log/mongodb.log
Hvis du virkelig vil placere det i din /var/log-mappe, skal du bare ændre tilladelserne.