Og jeg finder selvfølgelig svaret umiddelbart efter at have postet spørgsmålet. Ud fra dette svar er løsningen at tilføje en [BsonIgnoreIfDefault]
attribut til id'et. I eksemplet fra spørgsmålet ville det være:
public class MongoObject
{
[BsonId(IdGenerator = typeof(StringObjectIdGenerator))]
[BsonRepresentation(BsonType.ObjectId)]
[BsonIgnoreIfDefault] // <--- this is what was missing
public string MongoID { get; set; }
public int Index { get; set; }
}