Facepalm!!!
Docker-containerne kommunikerede fint, problemet var, at jeg ikke havde fortalt Resque (appen, der bruger Redis), hvor den skulle finde den. Tak til "The Real Bill" for at påpege, at jeg burde bruge docker-cli.
For alle andre, der bruger Docker og Resque, skal du bruge dette i din config/initializers/resque.rb fil:
Resque.redis = Redis.new(host: 'redis', port: 6379)
Resque.after_fork = Proc.new { ActiveRecord::Base.establish_connection }