Jeg kan tilsyneladende ikke finde ud af, hvordan jeg opdaterer min sidste inlog-tid

I din forespørgsel her:

UPDATE users_table SET 'date_last_inlog' = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Prøv at fjerne anførselstegn omkring date_last_inlog eller ændre dem til backticks:

UPDATE users_table SET date_last_inlog = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Brug heller ikke mysql_* funktioner, brug mysqli eller PDO i stedet. Din kode er sårbar over for SQL Injection.