JPA indsætter ikke i databasen, hvorfor?

Du mangler transaktionshåndtering , f.eks.

entityManager.getTransaction().begin();
entityManager.persist(area);
entityManager.getTransaction().commit();

Jeg anbefaler, at du læser op om JPA- og JSF-integration, der kan være noget hjælpeprogram/filter/JSF-support, der tager sig af dette for dig.