Simpelt Ajax Jquery-script - Hvordan kan jeg få oplysninger om hver af rækkerne i tabellen?

Den gamle MySQL-udvidelse mysql er forældet, så brug mysqli bedre eller PDO !

mysql_fetch_row() returnerer kun 1 række!Du skal sætte den i en løkke, for eksempel:

$data = array();
while ( $row = mysql_fetch_row($result) )
{
  $data[] = $row;
}
echo json_encode( $data );

Du skal også ændre JavaScript:

$.ajax({                                      
  url: 'api.php', data: "", dataType: 'json',  success: function(rows)        
  {
    for (var i in rows)
    {
      var row = rows[i];          

      var id = row[0];
      var vname = row[1];
      $('#output').append("<b>id: </b>"+id+"<b> name: </b>"+vname)
                  .append("<hr />");
    } 
  } 
});

Jeg vil i øvrigt anbefale dig at bruge mysql_fetch_assoc() fordi det gør din kode mere fleksibel og renere.