Det korte svar er, at toDateTimeString() er det, du leder efter:
$input['published_at'] = Carbon::now()->toDateTimeString();
Se http://carbon.nesbot.com/docs/
for flere muligheder, inklusive toDateString() hvis du bare vil have datodelen og ikke klokkeslættet.
Men en endnu bedre måde at håndtere det på ville være at lade Laravel håndtere casting af datoværdien til/fra et Carbon-objekt for dig. Se https://laravel.com/docs/5.4/eloquent-mutators# dato-mutatorer .