Nej, du kan kun arve fra ét billede.
Du vil sandsynligvis ikke have Java og MySQL i det samme billede, da det er mere idiomatisk at have en enkelt komponent i en container, dvs. oprette en separat MySQL-container og linke den til Java-containeren i stedet for at lægge begge i den samme container.
Men hvis du virkelig skal have dem i det samme billede, skal du skrive en Dockerfile med Java som basisbillede (FROM-sætning) og installere MySQL i Dockerfilen. Du burde stort set være i stand til at kopiere erklæringerne fra den officielle MySQL Dockerfile.