Takket være hjælpen fra @Matt fandt jeg ud af, hvad der skete. Volumen (alias postgres-databasen) blev beskadiget, så snart jeg tilsluttede to containere til den på samme tid.
Det er dog muligt at tillade flere containere at oprette forbindelse til en enkelt databasecontainer, men ikke ved at dele volumener. Du bliver nødt til at oprette en ny container, der vil køre postgres-dæmonen, og så kan andre containere oprette forbindelse til den via tcp-sockets. For mere information om, hvordan du gør dette læs dokumenterne