Jeg tror, du bliver nødt til at lave to separate forespørgsler her. Det er bare for betinget til, at MongoDB-forespørgselsparseren kan håndtere.
Så du bliver nødt til at sætte din logik ind i to separate forespørgsler, hvor den anden ser ud som:
$db->akis->update(
array("h" => (string) $_SESSION["_id"], "m" => array('$exists' => true)),
array('$set' => array("i" => $name)),
array("multiple" => true)
);
Løber den ene efter den anden.