Hvis begge MySql-installationer er ens (ingen portændringer osv.), vil du måske tjekke forbindelsesbegrænsningen til den port, som MySQL lytter til (normalt 3306) på fjernmaskinen. En firewall eller noget af den slags forhindrer muligvis adgang.
Også hvis jeg må spørge, har du brugt et andet værktøj (som MySQL WorkBench eller lignende) til at oprette forbindelse til MySQL'en på den eksterne maskine, fra den maskine som kører din c#-formular.
Det kan give dig en idé om, hvorvidt den har adgangsbegrænsninger.
Til sidst foreslår jeg, at du angiver porten i forbindelsesstrengen.
"Datakilde =SomeName; Database=SomeDb; User Id=SomeUserId; Password=SomePassword; Port=3306;"