Jeg er ikke ved en maskine med php for at teste dette, men du har forespørgsler med variabler som følger...
"select id from votes where username = '$user' and article_id = $this->id"
Jeg er ret sikker på, at du skal sætte parentes eller sammenkæde, når du bruger objekter...
"select id from votes where username = '$user' and article_id = ${this->id}"
eller
"select id from votes where username = '$user' and article_id = " . $this->id