Tilføjet mysql jar til lib, men står stadig over for klasse ikke fundet undtagelse på lokal udrulning til tomcat, der arbejder gennem intelliJ?

Du har den provided omfang for jdbc driver jar. I disse tilfælde kopieres det ikke ind i artefakten, som du implementerer til tomcat. Du skal angive det som en compile omfang.

Du kan også tilføje tomcat classpath jar som beskrevet her https://stackoverflow.com/a/7198049 /2000323 til alle applikationer. Derefter skal du angive omfanget som provided så den samme krukke ikke ville blive installeret to gange.