Du kan ikke tildele en ekko-sætning til en variabel.
Skift dette:
$approveremail = echo $result['e_mail'];
Til dette:
$approveremail = $result['e_mail'];
echo $approveremail;
Eller endda:
echo $result['e_mail'];
Overvej desuden at bruge mysqli eller PDO i stedet for mysql_ funktioner. mysql_-funktionen er forældet og understøttes ikke længere i PHP 7.0 og nyere.
Tag et kig på denne sidehttps://www.php .net/manual/en/function.mysql-fetch-array.php
Du skal køre forespørgslen og derefter hente resultatet
$emailaddress = "SELECT e_mail FROM frm_change_approver WHERE user_id = '$approvingmanagername'";
$result = mysql_query($emailaddress);
$row = mysql_fetch_array($result, MYSQL_ASSOC);
$approveremail = $row['e_mail'];
Overvej også at bruge mysql_real_escape_string() til at rense dine inputs https://www.php.net/manual/en/function.mysql-real-escape-string.php