Løst!
Arturs Licis' forslag var nøglen. På en eller anden måde var mysql-driveren blevet downloadet forkert. Det så ud til at være en .jar-fil, men kunne ikke indlæses. Tomcat viste kun det første niveau af undtagelsen:
java.lang.ClassNotFoundException: com.mysql.jdbc.Driver
[...]
Men da jeg kodede en meget simpel helloworld med Class.forName("com.mysql.jdbc.Driver"), blev følgende fejl vist i stedet:
java.lang.ClassNotFoundException: com.mysql.jdbc.Driver
[...]
Caused by: java.util.zip.ZipException: invalid LOC header (bad signature)
[...]
Eureka! Åbning af .jar-filen på WinRar viser, at den kan være åben... men med nogle fejl.
At downloade driveren igen løste problemet.
Stem ned på mig selv :-(