Du kan få den første i måneden ved at beregne den sidste_dag i måneden før og tilføje en dag. Det er akavet, men jeg synes, det er bedre end at formatere en dato som en streng og bruge den til beregning.
select
*
from
yourtable t
where
/* Greater or equal to the start of last month */
t.date >= DATE_ADD(LAST_DAY(DATE_SUB(NOW(), INTERVAL 2 MONTH)), INTERVAL 1 DAY) and
/* Smaller or equal than one month ago */
t.date <= DATE_SUB(NOW(), INTERVAL 1 MONTH)