Atlast fundet løsning...
Problemet var ikke med Android- eller php-delen. Det var problemet med serveren. Hostingsiden, som jeg brugte, sender cookies til klientsiden, som ikke håndteres inde i Android, men håndteres automatisk af browsere. Jeg plejede at bruge et andet hostingwebsted, hvor cookies ikke er involveret, og jeg fik det nødvendige json-output.