Jeg fandt en løsning på dette problem - ikke rigtig en løsning, men jeg er i IT, så det er tæt nok på.
Jeg brugte Java 7u51.
Jeg gik ind i kontrolpanel -> Java -> Avanceret
Under Avancerede sikkerhedsindstillinger valgte jeg:
Use SSL 2.0 ClientHello format
Use SSL 3.0
Use TLS 1.0
(det er tilfældigvis de typer forbindelser, serveren accepterede)
Jeg gik også ind på sikkerhedsfanen og føjede webstedet til listen over undtagelsessteder
Til sidst gik jeg ind på Java-fanen og klikkede på Vis. Jeg fravalgte derefter Java 1.7.0_51 fra mine installerede JRE'er.
Jeg er ikke helt klar over, hvordan/hvorfor alt dette virkede, da afinstallation og deaktivering af andre versioner af java ikke gjorde det. Men jeg er glad for at have siden op og fungere igen.
Håber dette hjælper en anden i fremtiden.